Faz Farkı

Karmaşık Sayı – Orthonality, Fourier Serisi – Fazör – Dalga

Son güncelleme: 18 Kasım 2012
Başlığı kafamdaki anahtar kelimelerden seçtim. Yine doğaçlama yazıyorum. Karmaşık sayıları ihmal etmek, üzerinde durmamak elektronik, haberleşme, kontrol, elektrik… mühendislerine çok acı çektirebiliyor! Öyle ki her derste hatta meslek hayatında kullandığı sayıları pek tanıyamamak, tanımadan kullanmak çok huzursuzluk verici. Karmaşık sayılar, karmaşık değişkenli fonksiyonlar…. Karmaşık sayı, iki boyutlu sayı, iki reel sayı ile kurulan yeni, iki boyutlu bir sayı. Karmaşık sayı cebri, complex algebra… Bu cebirdeki toplama-çıkarma vektörlerdeki toplama çıkarmayla aynı işi yapıyor. Çarpma bölme ise farklı. Reel iki sayıyı çarpar reel sayı buluruz, reel sayılar da bir karmaşık sayıdır ama sanal kısmı olmayan karmaşık sayı. Karmaşık sayılar çarptıkları sayının büyüklüğünü ve açısını modifiye ederler, bu modifiye etmek tabiri buraya çok iyi gidiyor. Mesela bir indüktans elemanı üzerindeki voltajı temsil edebileceğimiz karmaşık sayı; elemanın içinden geçen akımı temsil edebileceğimiz karmaşık sayının modifiye edilmiş hali, yani voltaj ve akım temsilcisi arasında bir modifiye edici karmaşık sayı var, i*w*L.

Değişkeni karmaşık olan fonksiyonlar iki değer üretirler, exp(i*w*t) iki değer üretir mesela, birisi cos(wt) diğeri sin(wt); iki ortogonal fonksiyon… Nonlineer eleman bulundurmayan tüm devreler(devrelerimizin çoğunluğu böyledir, nonlineer eleman bulunduranları da çoğu zaman lineer bölgede incelenir)  girişine gelen sinüzoidal işaretin genliğini ve fazını değiştirir, yükseltir, söndürür, fazını kaydırır amma frekansını bozmaz. Eğer girişe gelen bu sinüzoidali karmaşık sayı ile temsil edersek devrenin giriş işareti üzerindeki etkisini modifiye edici karmaşık sayı üreten karmaşık fonksiyonla temsil edebiliriz, transfer fonksiyonları, f(iw).

Orthogonality(diklik), başka uzaylarda başka tanımlanabilen bir kavram. Vektör uzayında iç çarpım, fonksiyon uzayında integral operatörü gibi tanımlarla karşılaşıyoruz(aslında fonksiyonların da bir vektör olarak düşünülebileceği, integral operatörünün de bir iç çarpım yapıyor olduğu bilgileri…?!) Mesela cos(x) ile cos(2x) diktir çünkü bu iki fonksiyonun çarpımı integral 0-2pi  de sıfır verir. cos(x) ile cos(5x) de diktir velhasıl cos(x) ile cos(mx) diktir, m tam sayı ve 1 den farklı olmak şartıyla. cos(x) ile cos(x) dik değildir çünkü çarpıp 0-2pi integral alırsak sıfır çıkmaz(kendisi üzerine izdüşümü normu çıkar),  1/2 çıkar. Peki size farklı genlikli cos(x), cos(2x), cos(3x) … gibi fonksiyonların  toplamıyla oluşmuş bir işareti içinde ne olduğunu söylemeden versem(f(x)=… analitik veya sayısal olarak) ve sorsam ki bu işarette cos(x) var mı varsa ne genliktedir? Bu soruya nasıl cevap verebiliriz? Biliyoruz cox(x), cos(2x) … birbirlerine dik fonksiyonlar. Eğer verilen işareti cos(x) ile çarpar 0-2pi integralini alırsam içerde A*cos(x) varsa ben burdayım diyecektir ve A kadar bağıracaktır, yoksa kimse ses çıkarmayacak ve sonuç 0 çıkacaktır. Bu işlemi tüm bileşenler için yapmak için: İşareti cos(nx) ile çarpıp 0-2pi integral alırsak n e bağlı bir ifade buluruz bu da bize içeride hangi bileşenden ne kadar olduğunu söyler, bunlar da fourier serimizin cos larla ilgili katsayıları olmuş olur. Peki sin(x), sin(2x)… fonksiyonları dik midir? Diktir deyip diğer konuya geçiyorum. Periyodik gerçek bir işaret(dirichlet i fazla darlamayalım;)) frekansı ve frekansının katları(tek kat, çift kat veya tüm katları) frekanslarındaki sinüzoidal işaretlerin toplamı ile gösterilebilir. Mesela f frekanslı kare dalgada f ve f nin tek katlarında(duty c. farklı %50 için çift katlar da vardır) farklı genlikli sinüzoidaller vardır, f frekanslı üçgen dalgada da aynı…
Yavaş mathcad imle bir uygulama yapmak istedim, sabrına güvenenler izlemek için buraya tıklayabilir di….screentoaster kapandığından video kayboldu ne yazık ki!

Elektromagnetik(EM) dalgalar bir dalga olarak hem zamana hem konum göre değişiklik gösterir, dalga hareketi seste, suda, ipte veya elektrik alanda benzerdir. Değişen ilerleme hızı, ilerleme yönü, vektörel-skaler olma gibi durumlardır. Tüm bunları ifade eden dalga denklemi bir tanedir, konuma göre türev*hızın karesi=zamana göre türev. Burda biraz EM dalgalardan bahsedeceğiz, nasıl yayılıyorlar mesela? İp dalgası nasıl gider? Birisi ipi bir ucundan sallasa ip boyunca giden bir şey var, ipin maddesi gitmiyor? Giden ne? Giden ipin yükseklik değişimi, ipi sinüzoidal salladığımızı düşünelim, ipin herhangi x noktasındaki yüksekliğin sinüzoidal değiştiğini görürüz, x+1 de yine sinüzoidal değişim ama bir faz farkıyla(lambda farklı 1) ve belki genlik zayıflamasıyla. İşte EM dalgalarda da durum aynı, ip yüksekliği değil elektrik alan şiddetini veya magnetik alan şiddetini gözleriz. x noktasında elektrik alan sinüzoidal değişir, x+1 de de sinüzoidal değişir… Sinüzoidal ise biz yine sinüzoidallerimizi fazör ile temsil ederiz, x1 noktasındakini exp(ikx1)karmaşık sayısıyla x2 noktasındakini de exp(ikx2) karmaşık sayılarıyla temsil ederiz. Fazörden zamana nasıl dönüyorduk? exp(iwt) mi exp(-iwt) ile mi çarpıyorduk, niye, düşünün bunu, ezberlemeyin. Evet doğaçlama yazının sonuna geldik, yazı sonunda matlab da görselletiştirebildiğimiz dalga hareketine bir göz bakalım: (screentoaster kapandığından videolar kayboldu, kodu matlab e kopyala-yapıştır yaparak çalıştırabilirsiniz)
Bir yönde ilerleyen düzlem dalga:

[x,y]=meshgrid(5:0.05:15,-5:0.05:5);
lambda=1;
k=2*pi/lambda;
f=3e8/lambda;
w=2*pi*f;
t=linspace(0,60e-9,200);
%z=exp(i*k*abs(x+i*y));
z=exp(i*k*x);
for n=1:length(t)
surf(x,y,real(z*exp(-i*w*t(n))));
%view(ceil(90*n*1/length(t)),ceil(90*n*2/length(t)));
view(3)
zlim([-1.5 1.5])
xlim([min(min(x)) max(max(x))])
ylim([min(min(y)) max(max(y))])
shading interp
getframe();
end

Zayıflayan için:

z=exp(i*k*x).*exp(-x/15);

Silindirik dalgalar:
z=exp(i*k*abs(x+i*y));

Aynı şekilde zayıflatabilirsiniz.

Bu da permitivitesi 11 olan boş uzaya z ekseni boyunca yerleştirilmiş sonsuz silindire TMz düzlem dalga gönderdiğimizde ortamdaki elektrik alan şiddetini  gösteren bir animasyon, (mom çözümü):