Faz Farkı

Fazör(Phasor) Kavramı ve Devre Analizinde Karmaşık Sayıların Kullanımı

Son güncellenme: 23 Mayıs 2010
Güncelleme notu: Bu yazıyı yıllar önce yazmışım, fazörlerden bahsediyor, tecrübesizlikten biraz da goygoy yapmışız 🙂 En altta verdiğim linkteki yazıda fazörler daha güzel bir şekilde konuşuldu, o yazıyı da bugün güncelledim.

Sinüzoidal kaynaklı devrelerimizin analizinde fazör kavramını oldukça sık kullanıyoruz, devremizi fazör domainine alıyoruz(!) birtakım karmaşık sayılarla(!) işlemler yapıyoruz sonra zaman domainine geri dönüyoruz(!). Acaba gerçekte neler yapıyoruz? Aslında burda yapılan işler çok kolay ve anlaşılır ancak bu kadar kolay ve anlaşılır anlatılmadığı-yazılmadığı için(en azından bana göre) bu önemli kavram akıllara yerleştirilmiş bir yöntem olarak kalıyor. Fazör kavramını özellikle kapasite ve self gibi farklı frekanslarda farklı davranan elemanlar içeren devrelerin analizinde kullanıyoruz. Peki nedir bu fazör kavramı?

Sinüzoidal kaynaklı bir devremiz olsun, bu kaynağımızı A.sin(wt) veya A.cos(wt-90) şeklinde ifade edelim. Bu durumda devremizdeki tüm akım ve gerilimler aynı frekanslı sin veya cos cinsinden yazılabilir. Örnek: A.cos(wt) gerilimi bir direnç üzerinde B.cos(wt) büyüklüğünde bir akım olur veya bir kapasite için A.C.-w.sin(wt) veya -A.C.w.cos(wt-90) [i=C.dV/dt olduğunu hatırlayın] büyüklüğünde bir akım olur. Devremizdeki tüm akım ve gerilimleri A.cos(wt-fi) şeklinde ifade edebiliyoruz ve görüyoruz ki tüm ifadelerde cos var, değişen sadece A büyüklüğü ve fi açısı. Acaba bu sadece büyüklük ve açı içeren akım ve gerilim ifadelerini daha kolay bir şekilde ifade edebilir miyiz? [NOT: Devremizde sadece tek tip frekanslı kaynak var, başka frekanslı 2. bir kaynak olduğu durumda uyumsuzluk olacağından fazör kullanamayız, öyle bir durumda iki kaynağı ayrı ayrı ele alıp sonuçları toplamalıyız(süperposizyon)]. Böylece bolca cos içeren ve daha önemlisi türev-integral içeren ifadelerle işlem yapmaktan kurtulmuş olacağız. Saklamak istediğimiz değerler bir büyüklük ve bir açı…..

Karmaşık sayılar bir büyüklük ve bir de açı ifade eden sayılar, yani bu sayıların 2 boyutu var…  O zaman A.cos(wt+fi) gibi bir ifadeyi büyüklüğü A olan ve açısı fi olan bir karmaşık sayıyla temsil edebiliriz. Karmaşık sayıları kartezyen koordinatlarda ifade edebileceğimiz gibi polar koordinatlarda da ifade edebiliriz. 2. si bizim için daha elverişlidir çünkü büyüklük ve açısı sayıya baktığımızda hemen görülür. Örn: Kartezyende 3+4j sayısı polarda 5*exp(j*53) şeklinde ifade edilir. Ancak toplama, çıkarma işlemi kartezyen gösteriminde daha kolay iken çarpma bölme işlemi polar gösterimde daha kolay olur. Devremizdeki akım ve gerilimleri bu şekilde ifade ettiğimizde göreceğiz ki tanım bağıntılarında türev,integral olan elemanlarının tanım bağıntıları da oldukça basitleşecek. Yukarda bir örnek vermiştik: Kapasite için A.cos(wt) gerilimi -A.C.w.cos(wt-90) akımını oluşturmuştu, bu büyüklükleri yeni adlandırmamıza göre(fazör) ifade ettiğimizde kapasitenin gerilimi: Büyüklüğü A, açısı 0 olan bir karmaşık sayı ile ifade edilebilir, A açı 0 diyelim. Kapasitenin akımı: Büyüklüğü -A.C.w açısı -90 olan diğer bir karmaşık sayıyla ifade edilebilir ki -ACw açı -90 diyelim. Bu durumda elemanın geriliminin akımına oranı(ki buna artık fazör domaininde direnç değil empedans diyoruz, direnç sadece büyüklük ifade ediyor empedeans-sembolü Z- ise hem büyüklük hem açı ifade ediyor) A açı 0 / -A.C.w açı -90 [bu işlemi karmaşık domainde yaptığımızda] kapasitenin empedansının yeni adlandırmamıza(fazör) göre 1/(-w.C.açı-90) karmaşık sayısı tarafından ifade edildiğini görürüz bu karmaşık sayı aynı zamanda 1/(j.w.C) veya -j/w.C veya 1/w.C açı -90 olarak ifade edilebilir(ilk 2 si kartezyende 3.su polarda).

Böylece yeni adlandırmamıza göre akımı -A.C.w açı -90 olan bir kapasitenin gerilimini (-A.C.w açı -90)*(1/w.C açı -90)=-A açı -180 ki bu da (A açı 0 dır) diyerek kolayca bulabiliyoruz. A açı 0 ın zaman domaininde ne ifade ettiğini biliyoruz: A.cos(wt). A.cos(wt) için bunu A açı 0 karmaşık sayısıyla ifade edelim diyerek yola çıktığımızı hatırlayın. Bu sonucun yukarda verilen kapasite örneğindeki zaman domaini karşılığıyla uyuştuğuna dikkat ediniz.

Görüldüğü gibi karmaşık sayılar bir büyüklük ve bir açı ifade etmek için ideal sayılardır, bu yüzden sinüzoidal büyüklüklerin çokça kullanıldığı elektrik-elektronik dünyasında bu sayılar çok büyük bir kolaylık sağlamktadır. Yoksa karmaşık olan bir durum yok :), karmaşık sayılar gerçek dünyada bir büyüklük ifade etmeyebilirler ancak bu durum onları alıp kullanmamıza mani olmaz! Karmaşık sayı cebrinin incelikleri bizi ilgilendirmiyor, bizim için karmaşık sayılar bir büyüklük ve bir açı saklayabildiğimiz sayılardır ve biz bu sayılarla 4 temel cebrik işlem yaparak devrelerimizi analiz edebiliyoruz. Büyüklükleri bu şekilde kolayca ifade edip Kirchoff yasalarına göre analizimizi yaptıktan sonra sonucumuzu tekrar zaman domainine geçirip işlemimizi tamamlıyoruz. [Fazör domaininde devre analizi konulu bir içerik hazırlanabilir]

Özetle: Fazör bir “karmaşık sayı“dır, sinüzoidal bir işareti temsil eden “karmaşık sayı“.

İlgili yazı: Fazörler